Question

13．设f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-ax-b（a、b∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y+4=0，求a、b的值；
（2）当b=1时，若总存在负实数m，使得当x∈（m，0）时，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$-a，根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y+4=0，可得f′（1）=-$\frac{1}{2}$，f（1）=-$\frac{5}{2}$．即可解出．
（2）b=1时，x∈（m，0），m＜0，f（x）＜0，可得：a＜$\frac{{e}^{x}-1-x}{{x}^{2}}$=g（x）．利用导数研究函数g（x）的单调性与极小值即最小值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$-a，∴f′（1）=1-a．
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y+4=0，f（1）=-$\frac{5}{2}$．
∴f′（1）=1-a=-$\frac{1}{2}$，f（1）=e-e+1-a-b=-$\frac{5}{2}$．
联立解得：a=$\frac{3}{2}$，b=2．
（2）b=1时，x∈（m，0），m＜0，
f（x）＜0，可得：a＜$\frac{{e}^{x}-1-x}{{x}^{2}}$=g（x）．
g′（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}+x+2}{{x}^{3}}$，
令h（x）=（x-2）e^x+x+2，h（0）=0，
h′（x）=（x-1）e^x+1，h′（0）=0，
h^″（x）=xe^x＜0，
∴h′（x）＜h′（0）=0，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（m，0）（m＜0）上单调递增，
∴g（x）＞g（m）=$\frac{{e}^{m}-1-m}{{m}^{2}}$．
∴a≤$\frac{{e}^{m}-1-m}{{m}^{2}}$（m＜0）．
∴实数a的取值范围是$（-∞，\frac{{e}^{m}-1-m}{{m}^{2}}]$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、多次求导方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．