Question

17．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x-y≤0}\\{y+x-k≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域的面积为$\frac{4}{3}$，则$\frac{y}{x+1}$的取值范围为[0，$\frac{8}{7}$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，然后代入三角形面积公式求得实数k的值，再根据$\frac{y}{x+1}$的几何意义为点N（-1，0）与P（x，y）两点连线的斜率，即可求出答案．

解答 解：画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x-y≤0}\\{y+x-k≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域，
如图所示，
由题意可知k＞0，可行域的三个顶点为A（0，0），
B（$\frac{k}{2}$，$\frac{k}{2}$），C（$\frac{k}{3}$，$\frac{2k}{3}$），
∵AB⊥BC，|AB|=$\frac{\sqrt{2}k}{2}$，
点C到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{2}k}{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}k}{2}$×$\frac{\sqrt{2}k}{6}$=$\frac{4}{3}$，
解得k=4，
则B（2，2），C（$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
又$\frac{y}{x+1}$的几何意义为点N（-1，0）与P（x，y）两点连线的斜率，
∴k_NA≤k≤k_NC，
∵k_NA=0，k≤k_NC=$\frac{8}{7}$，
∴$\frac{y}{x+1}$的取值范围为[0，$\frac{8}{7}$]，
故答案为：[0，$\frac{8}{7}$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．