Question

5．如图所示的多面体中，四边形ACDF为矩形，且平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF⊥平面ABC，BC=2DE，DE∥BC，CE∩BD=P．
（Ⅰ）证明：BC⊥AD．
（Ⅱ）在棱AC上找一点Q，使得PQ∥平面ABE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AC⊥平面BCDE，BC⊥平面ACDF，由此能证明BC⊥AD．
（Ⅱ）推导出PC=2PE，过P作PM∥BE，交BC于M，过M作MQ∥AB，交AC于Q，连结PQ，则PQ∥平面ABE，此时点Q是线段AC上靠近点A的三等分点．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ACDF为矩形，且平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF⊥平面ABC，
∴AC⊥CD，∴AC⊥平面BCDE，
∴AC⊥BC，∴BC⊥平面ACDF，
∵AD?平面ACDF，∴BC⊥AD．
解：（Ⅱ）∵BC=2DE，DE∥BC，CE∩BD=P，∴PC=2PE，
过P作PM∥BE，交BC于M，则CM=2BM，
过M作MQ∥AB，交AC于Q，则CQ=2AQ，
连结PQ，
∵PM∥BE，MQ∥AB，PM∩MQ=M，BE∩AB=B，
∴平面PMQ∥平面ABE，
∴PQ∥平面ABE，此时点Q是线段AC上靠近点A的三等分点．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．