有下列命题:①在函数$y=coscos$的图象中.相邻两个对称中心的距离为π,②函数y=$\frac{x+3}{x-1}$的图象关于点对称,③“a≠5且b≠-5 是“a+b≠0 的必要不充分条件,④已知命题p:对任意的x∈R.都有sinx≤1.则￢p是:存在x∈R.使得sinx＞1,⑤在△ABC中.若3sinA+4cosB=6.4sinB+3cosA=1.则角C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．有下列命题：
①在函数$y=cos（{x-\frac{π}{4}}）cos（{x+\frac{π}{4}}）$的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=$\frac{x+3}{x-1}$的图象关于点（-1，1）对称；
③“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．
其中所有真命题的个数是1．

分析对于①，利用三角函数的诱导公式及二倍角的正弦可得函数$y=cos（{x-\frac{π}{4}}）cos（{x+\frac{π}{4}}）$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x，相邻两个对称中心的距离为$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$，可判断①错误；
对于②，由函数y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{（x-1）+4}{x-1}$=1+$\frac{4}{x-1}$的图象的对称中心为（1，1），而不是（-1，1）可判断②错误；
对于③，利用充分必要条件的定义可判断出“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件，可判断③错误；
对于④，写出命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1的否定￢p：存在x∈R，使得sinx＞1，可判断④正确；
对于⑤，在△ABC中，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，可知B为锐角，且A为钝角，再由（3sinA+4cosB）²+（4sinB+3cosA）²=6²+1=37，可得sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=$\frac{1}{2}$⇒C=30°，可判断⑤错误．

解答解：对于①，∵$y=cos（{x-\frac{π}{4}}）cos（{x+\frac{π}{4}}）$=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x，
∴其周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，相邻两个对称中心的距离为$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$，故①错误；
对于②，函数y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{（x-1）+4}{x-1}$=1+$\frac{4}{x-1}$的图象关于点（1，1）对称，而不是关于（-1，1）对称，故②错误；
对于③，若a≠5且b≠-5，则a+b≠0不成立，即充分性不成立；反之，若a+b≠0，也不能推出a=5或b=-5，即必要性不成立，
故“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件，故③错误；
对于④，已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正确；
对于⑤，在△ABC中，∵3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，
∴B为锐角，且A为钝角，
由（3sinA+4cosB）²+（4sinB+3cosA）²=6²+1=37，
整理得：sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=$\frac{1}{2}$，
∴C=30°，故⑤错误．
其中所有真命题的个数是1个，
故答案为：1．

点评本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件、命题及其否定、三角函数的恒等变换及其应用，考查分析运算能力，属于难题．

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