Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}，x≤0\\{x^2}-2x+a+1，x＞0\end{array}$，若函数g（x）=f（x）-ax-1有4个零点，则实数a的取值范围为（0，1）．

Answer 1

分析 由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，x≤0，f（x）=e^x与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），函数g（x）=f（x）-ax-1有4个零点，只需要x≤0，f（x）=e^x与h（x）=ax+1有另1个交点，求出函数在（0，1）处切线的斜率，即可得出结论．

解答 解：由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，
x≤0，f（x）=e^x与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），
∵函数g（x）=f（x）-ax-1有4个零点，
∴只需要x≤0，f（x）=e^x与h（x）=ax+1有另1个交点
x≤0，f′（x）=e^x，f′（0）=1，
∴a＜1，
综上所述，0＜a＜1，
故答案为（0，1）．

点评 本题考查分段函数，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．