【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)若对任意,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)对函数进行求导,然后求出处的切线的斜率,再利用直线的点斜式方程求出切线方程,最后化为一般式方程;
(Ⅱ)先证明当时,对任意
,
恒成立,然后再证明当
时,对任意
,
恒成立时,实数
的取值范围.
法一:对函数求导,然后判断出单调性,求出函数的最大值,只要最大值小于零即可,这样可以求出实数的取值范围;
法二:原不等式恒成立可以转化为恒成立问题.
,求导,判断出函数的单调性,求出函数的最大值,只要
大于最大值即可,解出不等式,最后求出实数
的取值范围.
解:(Ⅰ)当时,
,
,
,
曲线
在点
处的切线方程为
,即
(Ⅱ)当时,
(
),对任意
,
恒成立,符合题意
法一:当时,
,
;
在
上单调递增,在
上单调递减
只需
即可,解得
故实数的取值范围是
法二: 当时,
恒成立
恒成立,
令,则
,
;
,
在
上单调递增,在
上单调递减
只需
即可,
解得
故实数的取值范围是
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点,已知f(x)=x2+ax+4在[1,3]恒有两个不同的不动点,则实数a的取值范围______.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本
,当年产量不足80千件时,
(万元);当年产量不小于80千件时,
(万元),每件售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设a为实数,函数,
若
,求不等式
的解集;
是否存在实数a,使得函数
在区间
上既有最大值又有最小值?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由;
写出函数
在R上的零点个数
不必写出过程
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【题目】某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中,随机抽取100名,按年龄(单位:岁)进行统计的频率分布直方图如图:
(1)根据频率分布直方图,分别求出样本的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位);
(2)在抽取的这100名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取20人参加华为手机宣传活动,现从这20人中,随机选取2人各赠送一部华为手机,求这2名市民年龄都在内的人数为
,求
的分布列及数学期望.
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【题目】(本小题满分16分)已知为实数,函数
,函数
.
(1)当时,令
,求函数
的极值;
(2)当时,令
,是否存在实数
,使得对于函数
定义域中的任意实数
,均存在实数
,有
成立,若存在,求出实数
的取值集合;若不存在,请说明理由.
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【题目】从1-20这20个整数中随机选择一个数,设事件A表示选到的数能被2整除,事件B表示选到的数能被3整除,求下列事件的概率;
(1)这个数既能被2整除也能被3整除;
(2)这个数能被2整除或能被3整除;
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除.
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【题目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(I)应收集多少位男生样本数据?
(II)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:,
,
,
,
,
,试估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率;
(Ⅲ)在样本数据中,有165位男生的每周平均体育运动时间超过4个小时请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
男生 | 女士 | 总计 | |
每周平均体育运动时 间不超过4小时 | |||
每周平均体育运动时 间超过4小时 | |||
总计 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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