Question

17．已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，且前n项和为S_n，又a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和为S_n；
（Ⅱ）通过b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$构造一个新的数列{b_n}，若{b_n}也是等差数列，求非零常数c的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a₂和a₃为方程x²-14x+45=0的两根，结合公差d＞0解方程可得a₂=5，a₃=9，可得首项和公差，可得答案；
（2）可得b₁=$\frac{1}{1+c}$，b₂=$\frac{6}{2+c}$，b₃=$\frac{15}{3+c}$，由等差数列可得2×$\frac{6}{2+c}$=$\frac{1}{1+c}$+$\frac{15}{3+c}$，解关于c的方程可得．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}中a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
∴由等差数列的性质可得a₂+a₃=a₁+a₄=14，
∴a₂和a₃为方程x²-14x+45=0的两根，
结合公差d＞0解方程可得a₂=5，a₃=9，
∴公差d=9-5=4，a₁=5-4=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=1+4（n-1）=4n-3
∴前n项和为S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=2n²-n；
（2）由（1）知新数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$=$\frac{2{n}^{2}-n}{n+c}$，
∴b₁=$\frac{1}{1+c}$，b₂=$\frac{6}{2+c}$，b₃=$\frac{15}{3+c}$，
∵{b_n}也是等差数列，∴2×$\frac{6}{2+c}$=$\frac{1}{1+c}$+$\frac{15}{3+c}$，
解关于c的方程可得c=$-\frac{1}{2}$，或c=0（舍去），
∴求得非零常数c的值为$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等差数列的性质和等差中项，属中档题．