Question

15．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD=DC=CB=BF=$\frac{1}{2}$AB．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；
（Ⅱ）若P为线段EF上一点，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角为θ，求θ的最小值．

Answer 1

分析 （I）设AD=1，利用余弦定理求出∠BAD，计算BD得出AD⊥BD，结合BD⊥DE得出BD⊥平面ADE，故而平面ADE⊥平面BFED；
（II）以D为原点建立空间坐标系，设AD=1，PE=a，求出平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$，计算cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DB}$＞，求出cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DB}$＞的最大值即可得出θ的最小值．

解答 （I）证明：∵四边形ABCD是梯形，∴∠BCD=π-∠BAD，
设AD=DC=CB=BF=$\frac{1}{2}$AB=1，
则由余弦定理得BD²=1+4-4cos∠BAD=1+1-2cos（π-∠BAD），
即5-4cos∠BAD=2+2cos∠BAD，解得cos∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴BD=$\sqrt{5-4cos∠BAD}$=$\sqrt{3}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
∵四边形BFED是矩形，∴BD⊥DE，
又AD∩DE=D，AD?平面ADE，DE?平面ADE，
∴BD⊥平面ADE，又BD?平面BFED，
∴平面ADE⊥平面BFED．
（II）解：以D为原点，以DA，DB，DE为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
设AD=1，由（1）可知A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），
设P（0，a，1），则0$≤a≤\sqrt{3}$，$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（-1，a，1），
设平面ABP的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{-x+ay+z=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$-a），
∵BD⊥平面ADE，∴$\overrightarrow{DB}$=（0，$\sqrt{3}$，0）是平面ADE的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{7+{a}^{2}-2\sqrt{3}a}}$=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}-2\sqrt{3}a+7}}$，
∴cosθ=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}-2\sqrt{3}a+7}}$，
∵a²-2$\sqrt{3}a$+7=（a-$\sqrt{3}$）²+4，0≤a$≤\sqrt{3}$，
∴当a=$\sqrt{3}$时，cosθ取得最大值$\frac{1}{2}$，
∴θ的最小值为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．