Question

【题目】如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.

（1）求二面角P-CD-A的余弦值；

（2）已知H为线段PC上异于C的点，且DC＝DH，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）＝.

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，分别求得平面PCD的一个法向量，平面ACD的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.

（2）由题意设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，所以＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)，又因为DC＝DH，再根据求解.

（1）根据题意，以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.

则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．

所以＝(0，－4，4)，＝(4，－2，0)．

设平面PCD的法向量为＝(x,y,z)，

则即令x＝1，

则y＝2，z＝2.所以平面PCD的一个法向量为＝(1，2，2)

平面ACD的一个法向量为＝(0，0，1)，

所以cos〈，〉＝＝，

且由图可知二面角为锐二面角，

所以二面角P-CD-A的余弦值为

（2） 由题意可知＝(4，2，－4)，＝(4，－2，0)，

设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，

则＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)，

因为DC＝DH，所以＝，

化简得3λ2－4λ＋1＝0，

所以λ＝1或λ＝.

又因为点H异于点C，

所以λ＝，

即＝.