Question

（2013•广西一模）已知函数f（x）=x²-2x+log_a

a

x-1

在（1，

3

2

）内恒小于零，则实数a的取值范围是（　　）

• A．

  1

  16

  ≤a＜1
• B．0＜a≤

  1

  16

• C．0＜a＜

  1

  4

• D．a≥

  1

  16

Answer 1

分析：求出函数f（x）的定义域，f（x）在（1，

3

2

）内恒小于零等价于f（x）_max＜0，求出导数f′（x），分0＜a＜1，a＞1两种情况利用导数求出f（x）的最大值即可．

解答：解：f（x）=x²-2x+loga

a

x-1

，
因为a＞0，且

a

x-1

＞0，所以定义域：{x|x＞1}．
 f'（x）=2x-2-

1

(x-1)lna

，
①当0＜a＜1时，

1

(x-1)lna

＜0，所以在x∈（1，

3

2

）时f'（x）＞0，函数f（x）在（1，

3

2

）上是增函数，
要满足题意，须f（

3

2

）≤0，即：

9

4

-3+loga（2a）≤0，即：loga2≤-

1

4

，
解得：a≥

1

16

，又0＜a＜1，所以

1

16

≤a＜1．
②当a＞1时，由f'（x）=0得：x=1+

1

2lna

，
当x＜1+

1

2lna

时，f'（x）＜0，当x＞1+

1

2lna

时，f'（x）＞0，
由此得函数f（x）在x＜1+

1

2lna

时是减函数，在x＞1++

1

2lna

时是增函数，
而f（

3

2

）=

9

4

-3+loga（2a）=loga2+

1

4

＞0，
所以a＞1时，不能保证在（1，

3

2

）内f（x）恒小于0，
故a＞1不合题意，舍去．
综上，所求实数a的取值范围为

1

16

≤a＜1．
故选A．

点评：本题考查应用导数求函数的最值，考查不等式恒成立，考查分类讨论思想，解决本题的关键是利用导数求出函数的最大值．