Question

在△ABC中，已知A=45°，cosB=

4

5

．
（1）求sinC的值；
（2）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）根据B为三角形的内角，利用同角三角函数的关系算出sinB=

3

5

，从而得到sin（A+B）的值，再由三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC的值；
（2）根据正弦定理算出AB=

BC•sinC

sinA

=14，得到BD=

1

2

AB=7，然后在△BCD中利用余弦定理加以计算，可得线段 CD的长．

解答：解：（1）∵在△ABC中，cosB=

4

5

＞0，
∴B为锐角，可得sinB=

1-cos2A

=

3

5

．
∵△ABC中，A+B=π-C，∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
由此可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

7 2

10

．
（2）∵△ABC中，BC=10，A=45°，sinC=

7 2

10

，
∴由正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

，得AB=

BC•sinC

sinA

=

10× 7 2 10

2 2

=14，
又∵D为AB中点，可得BD=7．
∴在△BCD中根据余弦定理，
可得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cosB=10²+7²-2×10×7×

4

5

=37
解之得CD=

37

（舍负）．

点评：本题给出△ABC的两个角的三角函数值，求第三个角的正弦之值，并在已知BC长的情况下求中线CD的长．着重考查了同角三角函数的基本关系与诱导公式、两角和的正弦公式和正余弦定理等知识，属于中档题．