Question

19．x，y满足线性约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$，若z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则a（　　）

• A． -2或1
• B． -2或-$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$或-1
• D． -$\frac{1}{2}$或1

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y+ax得y=-ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若-a＞0，即a＜0，目标函数y=-ax+z的斜率k=-a＞0，要使z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=-ax+z与直线2x-y+2=0平行，此时a=-2，
若-a＜0，即a＞0，目标函数y=-ax+z的斜率k=-a＜0，要使z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=-ax+z与直线x+y-2=0，平行，此时-a=-1，解得a=1，
综上a=1或a=-2，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．