Question

11．已知f（x）=ln（e^x+1）+ax是偶函数，g（x）=e^x-be^-x是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；
（3）若不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质即可求a，b的值；
（2）根据指数函数的单调性即可判断g（x）的单调性；
（3）根据函数的单调性将不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，进行转化，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（e^x+1）-ax是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即f（-x）-f（x）=0，
则ln（e^-x+1）+ax-ln（e^x+1）+ax=0，
ln（e^x+1）-x+2ax-ln（e^x+1）=0，
则（2a-1）x=0，即2a-1=0，解得a=$\frac{1}{2}$．
若g（x）=e^x-be^-x是奇函数．
则g（0）=0，即1-b=0，
解得b=1；
（2）∵b=1，∴g（x）=e^x-e^-x，则g（x）单调递增；
（3）由（II）知g（x）单调递增；
则不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，
等价为f（x）＞m-x在[1，+∞）上恒成立，
即ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x＞m-x在[1，+∞）上恒成立，
则m＜ln（e^x+1）+$\frac{1}{2}$x，
设m（x）=ln（e^x+1）+$\frac{1}{2}$x，
则m（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴m（x）≥m（1）=ln（1+e）+$\frac{1}{2}$，
则m＜ln（1+e）+$\frac{1}{2}$，
则实数m的取值范围是（-∞，ln（1+e）+$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，函数单调性的判断以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决恒成立问题的基本方法．