Question

12．已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，（n∈N^*）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}满足a_n=f′（-n）•2ⁿ，求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由f（-4n）=0，f'（0）=2n组成方程组，即可解得a，b，求出f（x）的解析式；
（2）f'（-n）=n，则a_n=n•2ⁿ，利用错位相减法即可求出前n项和．

解答 解：（1）∵f（x）的图象过点（-4n，0），
∴16n²a-4nb-0，…①
∵f'（x）=2ax+b，
∴f'（0）=b=2n，…②
由①②组成方程组解得：a=$\frac{1}{2}$，b=2n，
故f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+2nx$ （n∈N*）；
（2）∵f'（x）=x+2n
∴f'（-n）=n，
∴a_n=n•2ⁿ，
记{a_n}的前n项和为S_n，
则S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}$=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴${S}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$

点评 本题考察了导数的基本概念和利用错位相减法求数列的前n项和，属于基础题．