Question

17．若f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）=f（x-1），当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-2，则f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）的值等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题可先研究f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）的取值范围，利用函数的周期性与函数的奇函数的性质化简自变量，再由x∈（0，1）时，f（x）=2^x-2，即可求出所求值．

解答 解：由题意函数y=f（x）满足f（x+1）=f（x-1），即f（x+2）=f（x），可得其周期是2
又log${\;}_{\frac{1}{2}}$24=-log₂24∈（-5，-4），
∴f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24+4）=f（4-log₂24）=f（log₂$\frac{16}{24}$）=-f（log₂$\frac{3}{2}$）=-（${2}^{lo{g}_{2}\frac{3}{2}}-2$）=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考点是函数奇函数的性质，考查了奇函数的对称性，函数的周期性，对数的性质，解题的关键是由函数的性质，化简自变量的范围，这是本题的难点，本题考察了转化的思想，本题是一个函数性质综合考查题，此类题是每年高考必考题，规律较固定，题后要好好总结．