Question

20．三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，AB=4，BC=5，CA=6，若△ABC的外接圆恰好是三棱锥P-ABC外接球O的一个大圆，则三棱锥P-ABC的体积为：10．

Answer 1

分析 P在面ABC上的射影为O，则OA=OB=OC=OP=R，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{abc}{4R}$，V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$•R，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．

解答 解：P在面ABC上的射影为O，则OA=OB=OC=OP=R，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{abc}{4R}$，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$•R=$\frac{1}{3}×\frac{abc}{4R}×R$=$\frac{abc}{12}=\frac{4×5×6}{12}$=10．
∴三棱锥P-ABC的体积为10．
故答案为：10．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球性质、正弦定理的合理运用．