Question

5．已知函数f（x）=x³-ax，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-$\frac{5}{2}$．
（1）若f（x）和g（x）在同一点处有相同的极值，求实数a的值；
（2）对于一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设G（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$-g（x），求证：G（x）＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的极小值，然后列出方程求解a 即可．
（2）使对于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，转化为$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$恒成立，只需$a≤{（2lnx+x+\frac{3}{x}）_{min}}$，构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值，推出a的范围即可．
（3）若证$G（x）＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$，则只需证明$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$，即证$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，构造函数设m（x）=xlnx，利用函数的单调性求解函数的极值，推出结果即可．

解答 解：（1）∵g′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增．∴g（x）_极小值=g（1）=-2
又∵f（x）和g（x）在同一点处有相同的极值，
∴f（1）=1-a=-2，即a=3．
（2）若使对于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，则只需使得不等式$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$恒成立，即只需$a≤{（2lnx+x+\frac{3}{x}）_{min}}$
设$t（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}$，则$t'（x）=\frac{2}{x}+1-\frac{3}{x^2}=\frac{（x-1）（x+3）}{x^2}（x＞0）$，
∴当x∈（0，1）时，t'（x）＜0，则t（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0，则t（x）单调递增．
∴t（x）_最小值=t（1）=4，
∴a≤4，即a的取值范围为（-∞，4]
（3）若证$G（x）＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$，则只需证明$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$，即证$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$
设m（x）=xlnx，则m'（x）=lnx+1，由于m（x）在$（0，\frac{1}{e}）$单调递减，在$（\frac{1}{e}，+∞）$单调递增，所以$m{（x）_{min}}=m（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；设$n（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，则$n'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，由于n（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以$n{（x）_{max}}=n（1）=-\frac{1}{e}$．
所以m（x）≥n（x）又由于m（x）与n（x）不在同一个变量时取得最值，即m（x）＞n（x）
综上所述，$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，构造法的应用，考查计算能力．