Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=

3

2

，2S_n+1=3S_n+2（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项b_n=

1

an

，求数列{b_n}的前n项的和T_n；
（3）求满足不等式3T_n＞S_n（n∈N₊）的n的值．

Answer 1

（1）由2S_n+1=3S_n+2得到，2S_n=3S_n-1+2（n≥2）
则2a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₂=

3

2

，2S₂=3S₁+2，∴a1=1，

a2

a1

=

3

2

则

an+1

an

=

3

2

(n∈N*)
故数列{a_n}为等比数列，且an=(

3

2

)n-1
（2）由（1）知，an=(

3

2

)n-1，又由数列{b_n}的通项b_n=

1

an

，则bn=(

2

3

)n-1
故Tn=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3[1-(

2

3

)n]
（3）由（1）知，an=(

3

2

)n-1，则Sn=

1-( 3 2 )n

1- 3 2

=2[(

3

2

)n-1]
由（2）知，Tn=3[1-(

2

3

)n]
则3T_n＞S_n（n∈N₊）?9[1-(

2

3

)n]＞2[(

3

2

)n-1]，
令t=(

3

2

)n（t＞1），则9(1-

1

t

)＞2(t-1)，
解得 1＜t＜

9

2

，即1＜(

3

2

)n＜

9

2

又由f(x)=(

3

2

)x在R上为增函数，(

3

2

)3=

9

2

×

3

4

，(

3

2

)4=

9

2

×

9

8

，
故n=1，2，3