Question

已知函数f（x）=|x-1|+2|x+1|+1．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜6的解集；
（Ⅱ）若直线y=（

1

3

）^a（a∈R）与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数a的取值区间．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）通过对自变量x取值范围的分类讨论，去掉不等式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；
（Ⅱ）由f(x)=

3x+2，x＞1 x+4，-1≤x≤1 -3x，x＜-1

可求得函数f（x）的值域为[3，+∞），利用直线y=(

1

3

)a（a∈R）与函数y=f（x）的图象恒有公共点，即可求得实数a的取值区间．

解答： （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）因为f(x)=

3x+2，x＞1 x+4，-1≤x≤1 -3x，x＜-1

…（3分）
所以当x＞1时，由f(x)＜6?3x+2＜6?x＜

4

3

，
又x＞1，所以1＜x＜

4

3

；
当-1≤x≤1时，f（x）＜6?x+4＜6?x＜2，
又-1≤x≤1，所以-1≤x≤1；
当x＜-1时，f（x）＜6?-3x＜6?x＞-2，
又x＜-1，所以-2＜x＜-1
综上，所求的解集为{x|-2＜x＜

4

3

}．…（6分）
（2）结合（1）知f(x)=

3x+2，x＞1 x+4，-1≤x≤1 -3x，x＜-1

知，
当x＞1时，f（x）=3x+2＞5；
当-1≤x≤1时，f（x）=x+4∈[3，5]；
当x＜-1时，f（x）=-3x＞3；
∴函数f（x）的值域为[3，+∞）…（7分）
又直线y=(

1

3

)a（a∈R）与函数y=f（x）的图象恒有公共点，
所以(

1

3

)a≥3，∴a≤-1
即a的取值区间是（-∞，-1]．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．