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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图所示的两个同心圆盘均被n等分（n∈N+且n≥2），在相重叠的扇形格中依次同时填上1，2，3，L，n，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”．
    （Ⅰ）求n个不同位置的“旋转和”的和；
    （Ⅱ）当n为偶数时，求n个不同位置的“旋转和”的最小值；
    （Ⅲ）设n=4m（m∈N+），在如图所示的初始位置将任意m对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明：当m≤4时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0．
    考点：进行简单的合情推理
    专题：综合题,推理和证明
    分析：（Ⅰ）由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故可得n个不同位置的“旋转和”的和；
    （Ⅱ）求出内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”，当k＜
    n+1
    2
    时，ak+1＜ak，当k＞
    n+1
    2
    时，ak+1＞ak，所以k=
    n
    2
    +1    时，a
    n
    2
    +1    最小，即可求n个不同位置的“旋转和”的最小值；
    （Ⅲ）利用反证法进行证明即可．
    解答： （Ⅰ）解：由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故n个不同位置的“旋转和”的和为1×（1+2+…+n）+2×（1+2+…+n）+…+n×（1+2+…+n）=(1+2+…+n)×(1+2+…+n)=
    n2(n+1)2
    4
    ；  …（3分）
    （Ⅱ）解：设内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”为ak
    则ak+1=1×（k+1）+2×（k+2）+…+（n-k）×n+（n-k+1）×1+…+n×kak
    =1×k+2×（k+1）+…+（n-k）×（n-1）+（n-k+1）×n+…+n×（k-1）ak+1-ak
    =1+2+…+（n-k）+（1-n）（n-k+1）+（n-k+2）+…+n
    =(1+2+3+…+n)-n(n-k+1)=n(k-
    k+1
    2
    )    …（5分）
    所以当k＜
    n+1
    2
    时，ak+1＜ak，当k＞
    n+1
    2
    时，ak+1＞ak，所以k=
    n
    2
    +1    时，a
    n
    2
    +1    最小
    最小值a
    n
    2
    +1    =1×(
    n
    2
    +1)+2×(
    n
    2
    +2)+…+
    n
    2
    ×n+(
    n
    2
    +1)×1+…+n×
    n
    2

    =n(1+2+3+…+
    n
    2
     )+    2(12+22+…+
    n2
    4
    )    =
    n(n+2)(5n+2)
    24
    ；…（8分）
    （Ⅲ）证明：将图中所有非0数改写为1，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为0，则此位置的“旋转和”必大于或等于2m+1，初始位置外的4m-1个位置的“旋转和”的和为（3m）2-3m，
    则有（3m）2-3m≥（2m+1）（4m-1），即m2-5m+1≥0，所以m≥
    5+
    		21
    2
    ，
    这与m≤4矛盾，故命题得证．…（12分）
    点评：本题给出新概念，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法，正确理解、转化题意是关键．
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    a
    、
    b
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    a
    =
    b
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    ?
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    π
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    1
    3
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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    π
    6
    ）-1．
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    （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

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    已知f（x）=xsinx+cosx+x2（x∈R）．
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    （理）f（log0.5x）＜f（2）

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