Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2
（1）判断曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y=g（x）的公共点个数；
（2）若函数y=f（x）-g（x）有且仅有一个零点，求a的值；
（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₂-x₁＞ln2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导函数求出函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，和函数y=g（x）联立后由判别式分析求解公共点个数；
（2）写出函数y=f（x）-g（x）表达式，由y=0得到a=x+

2

x

+lnx，求函数h(x)=x+

2

x

+lnx的最小值既是所要求的a的值；
（3）写出函数y=f（x）+g（x）的表达式，构造辅助函数t（x）=-x²+ax-2+xlnx，由原函数的极值点是其导函数的零点分析导函数对应方程根的情况，分离参数a后构造新的辅助函数，求函数的最小值，然后分析当a大于函数最小值的情况，进一步求出当x₂-x₁=ln2时的a的值，则答案可求．

解答：解：（1）由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，
代入y=-x²+ax-2，得x²+（1-a）x+1=0，
∴当a＜-1或a＞3时，△=（1-a）²-4＞0，有两个公共点；
当a=-1或a=3时，△=（1-a）²-4=0，有一个公共点；
当-1＜a＜3时，△=（1-a）²-4＜0，没有公共点．
（2）y=f（x）-g（x）=x²-ax+2+xlnx，
由y=0，得a=x+

2

x

+lnx，
令h(x)=x+

2

x

+lnx，⇒h/(x)=

(x-1)(x+2)

x2

，
∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
因此，h_min（x）=h（1）=3⇒a=3．
（3）y=f（x）+g（x）=-x²+ax-2+xlnx，
令t（x）=-x²+ax-2+xlnx，
∴t′（x）=-2x+a+1+lnx，
即a=2x-1-lnx有两个不同的根x₁，x₂，
令λ（x）=2x-1-lnx⇒λ/(x)=

2x-1

x

⇒λmin(x)=λ(

1

2

)=ln2，
且当a＞ln2时，（x₂-x₁）随a的增大而增大；
当x₂-x₁=ln2时，

a=2x1-1-lnx1 a=2x2-1-lnx2

⇒x₂=4x₁，
∴x1=

ln2

3

，x2=

4ln2

3

，
此时a=

2ln2

3

-1-ln(

ln2

3

)．
即x₂-x₁＞ln2时，
a＞

2ln2

3

-1-ln(

ln2

3

)．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点的求法，考查了利用导数求函数的最值，充分利用了数学转化思想方法，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是难度较大的题目．