Question

已知函数f（x）=x²-2x，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}，则集合M∩N的面积是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   π
4. D.
   2π

Answer 1

C
分析：因为f（x）=x²-2x，所以集合M={（x，y）|x²+y²-2x-2y≤0}，它的图形是圆心为（1，1），半径为的圆．N={（x，y）|x²-y²-2（x-y）≥0}={（x，y）|（x-y）（x+y-2）≥0}，它的图形是直线x-y=0和直线x+y-2=0之间的平面区域．集合M∩N的区域的面积是半径为的圆的面积的一半．由此能求出集合M∩N的面积．
解答：解：∵f（x）=x²-2x，
∴集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}
={（x，y）|x²+y²-2x-2y≤0}，
集合M的图形是圆心为（1，1），半径为的圆．
N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}
={（x，y）|x²-y²-2（x-y）≥0}
={（x，y）|（x-y）（x+y-2）≥0}，
集合N的图形是直线x-y=0和直线x+y-2=0之间的平面区域．
∴集合M∩N的区域是如图所示的阴影部分．
它的面积是半径为的圆的面积的一半．
∴集合M∩N的面积S==π．
故选C．
点评：本题考查圆和圆锥曲线的综合应用，解题的关键步骤是判断出集合M的图形是圆心为（1，1），半径为的圆．集合N的图形是直线x-y=0和直线x+y-2=0之间的平面区域．集合M∩N的面积是半径为的圆的面积的一半．解题时要认真审题，作出可行域，注意数形结合思想的灵活运用．易错点是作不出来可行域，解题时要无从下手．