Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对边分别是a、b、c，给出下列命题：
①长分别为sinA、sinB、sinC的三条线段可以构成三角形；
②长分别为a²、b²、c²的三条线段可以构成三角形；
③长分别为

1

a

、

1

b

、

1

c

的三条线段可以构成三角形；
④长分别为

a

、

b

、

c

的三条线段可以构成三角形；
其中正确命题的序号

①④

．

Answer 1

分析：判断三边能否构成三角形，只需判断两个较小的边的和是否大于最大边，本题中对于命题①④可用此结论证明其正确性，对于命题②③，可用举反例的方法证明其错误即可

解答：解：∵由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，以及三角形中任两边之和大于第三边，可得sinA，sinB，sinC三数中任两数之和大于第三个数，∴长分别为sinA、sinB、sinC的三条线段可以构成三角形，∴①正确．
∵若△ABC为钝角三角形，不妨设角C为钝角，则，c²＞a²+b²，长分别为a²、b²、c²的三条线段就构不成三角形，
∴②错误．
若a=5，b=4，c=2则∵

1

a

+

1

b

=

9

20

＜

10

20

=

1

c

，∴长分别为

1

a

、

1

b

、

1

c

的三条线段不一定能构成三角形，③错误
设a＜b＜c，则a+b＞c，且

a

＜

b

＜

c

，∵（

a

+

b

）²=a+b+2

ab

＞（

c

）²，∴长分别为

a

、

b

、

c

的三条线段可以构成三角形，故④正确
故答案为①④

点评：本题考察了命题真假的判断方法，判断一个命题为真必须严格证明，判断一个命题为假只需举反例即可，还考察了三角形的性质