Question

（2009•黄冈模拟）已知(

x

-

1

2 4 x

) n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，则下列结论正确的是（　　）

A．展开式中共有八项

B．展开式中共有四项为有理项

C．展开式中没有常数项

D．展开式中共有五项为无理项

Answer 1

分析：由题意通过前三项系数的绝对值依次成等差数列，求出n的值，然后判断二项式的项数，有没有有理项，常数项，是否存在展开式中共有五项为无理项，得到结果．

解答：解：已知(

x

-

1

2 4 x

) n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
所以

C

0 n

+

C

2 n

 2-2=2

C

1 n

×

1

2

，解得n=8，
展开式中共有九项，A不正确；
展开式的第k+1项为C^k₈（

x

）^8-k（-

1

2 4 x

）^k
=（-

1

2

）^kC^k₈•x

8-k

2

•x-

k

4

=（-1）^k•C^k₈•x

16-3k

4

．
若第k+1项为常数项，
当且仅当

16-3k

4

=0，即3k=16，
∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．C正确；
若第k+1项为有理项，当且仅当

16-3k

4

为整数，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．所以展开式中共有四项为有理项，不正确．
展开式中共有五项为无理项．显然不正确．
故选C．

点评：本题是中档题，考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，考查计算能力，常考题型．