Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连接CE并延长交AD于F.

(1)求证：AD⊥平面CFG；

(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

 

Answer 1

（1）见解析（2）

【解析】(1)在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，

因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，

所以∠FED＝∠FEA.故EF⊥AD，AF＝FD，又因为PG＝GD，

所以FG∥PA，又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.

(2)以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故＝，＝，＝.

设平面BCP的法向量n1＝(x1，y1，z1)，

则

令y1＝－，则x1＝3，z1＝2，n1＝(3，－，2)．

设平面DCP的一个法向量n2＝(1，y2，z2)，则

解得即n2＝(1，，2)．

从而平面BCP与平面DCP的夹角θ的余弦值为

cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝