Question

（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；
（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=

π

3

，可求a的值，进而可求B=

π

2

，利用D为BC的中点，可求AD的长．

解答：解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC
∴2sinBcosA=sin（A+C）
∵A+C=π-B
∴sin（A+C）=sinB＞0
∴2sinBcosA=sinB
∴cosA=

1

2

∵A∈（0，π）
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=

π

3

∴a²=b²+c²-2bccosA=3
∴b²=a²+c²
∴B=

π

2

∵D为BC的中点，
∴AD=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．

点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的边与角．