Question

（2012•安徽）设函数f（x）=

x

2

+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x_n}．
（Ⅰ）求数列{x_n}．
（Ⅱ）设{x_n}的前n项和为S_n，求sinS_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；令f′（x）＜0，确定函数的单调减区间，从而可得f（x）的极小值点，由此可得数列{x_n}；
（Ⅱ）S_n=x₁+x₂+…+x_n=2π（1+2+…+n）-

2nπ

3

=n（n+1）π-

2nπ

3

，再分类讨论，求sinS_n．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得f′(x)=

1

2

+cosx，令f′（x）=0，可得x=2kπ±

2

3

π(k∈Z)
令f′（x）＞0，可得2kπ-

2

3

π＜x＜2kπ+

2

3

π(k∈Z)；
令f′（x）＜0，可得2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π(k∈Z)
∴x=2kπ-

2

3

π(k∈Z)时，f（x）取得极小值
∴x_n=x=2nπ-

2

3

π(n∈N+)
（Ⅱ）S_n=x₁+x₂+…+x_n=2π（1+2+…+n）-

2nπ

3

=n（n+1）π-

2nπ

3

∴当n=3k（k∈N^*）时，sinS_n=sin（-2kπ）=0；
当n=3k-1（k∈N^*）时，sinS_n=sin

2π

3

=

3

2

；
当n=3k-2（k∈N^*）时，sinS_n=sin

4π

3

=-

3

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数与数列之间的综合，属于中档题．