Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{14}$
• D． 16

Answer 1

分析 根据向量数量积的定义，利用坐标法，结合特殊值法进行求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1，
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=2，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1，
不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（a，b），$\overrightarrow{c}$=（c，d），
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，∴a=1，即$\overrightarrow{b}$=（1，b），
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=2，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=c=2，即$\overrightarrow{c}$=（2，d），
∵$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1，
∴2+bd=1，即bd=-1，
则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=（4，b+d），
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{16+（b+d）^{2}}$，
∵bd=-1，∴当b=1，d=-1或b=-1，d=1时，（b+d）²=0，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{16+（b+d）^{2}}$≥$\sqrt{16}$=4，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|的最小值为4，
故选：B．

点评 本题主要考查平面向量数量积的应用，由于难度比较大，使用坐标法和特殊值法是解决本题的关键．综合性较强．