Question

9．奇函数f（x）（x∈R）满足f（-3）=0，且在区间[0，2]于[2，+∞）上分别是递减和递增，则不等式（1-x²）f（x）＞0的解集（-∞，-3）∪（-1，0）∪（1，3）．

Answer 1

分析 由题意，可先研究奇函数f（x）（x∈R）的特征，得出f（x）＜0的解集与f（x）＞0的解集，再研究1-x²符号为正时x的取值范围与符号为负时x的取值范围，不等式（1-x²）f（x）＞0的说明（1-x²）与f（x）符号相同，由此判断出不等式的解集即可得到答案．

解答 解：由题意可得f（3）=0
由上知，当x≥0时，f（x）＜0的解集（0，3），f（x）＞0的解集（3，+∞），
由于函数是奇函数，故当x＜0时，f（x）＜0的解集（-∞，-3），f（x）＞0的解集（-3，0），
令1-x²＞0解得-1＜x＜1
∴不等式（1-x²）f（x）＞0的解集为（-∞，-3）∪（-1，0）∪（1，3）
故答案为：（-∞，-3）∪（-1，0）∪（1，3）

点评 本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查了奇函数的对称性，函数单调性及由题设条件判断函数值的符号，解题的关键是理解两个因子乘积大于0，则两者的符号相同，本题考查了判断推理的能力及数形结合的思想，是函数性质考察的经典题，在高考中也多有出现．