Question

【题目】杭州西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园.欲在该公园内搭建一个平面凸四边形的休闲观光及科普宣教的平台，如图所示，其中百米，百米，为正三角形.建成后将作为人们旅游观光休闲娱乐的区域，将作为科普宣教湿地功能利用弘扬湿地文化的区域.

（1）当时，求旅游观光休闲娱乐的区域的面积；

（2）求旅游观光休闲娱乐的区域的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）通过余弦定理可求得,进而得到,,,根据直角三角形的面积公式即可求得结果.

（2）方法一:设,由余弦定理可求得,设，进而由余弦定理可得,则可求的值, 进而可得的值,根据面积公式化简可得,令，则面积可化简为,令,平方后化简为由的存在性可知即可求得,进而得出结果.

方法二: 不妨设，,由正余弦定理可得,

,

利用面积公式及辅助角公式化简根据三角函数性质即可得出结果.

方法三:设，,由余弦定理可知

,为正三角形及由正弦定理得可得，由代入化简可得根据面积公式及辅助角公式化简可得,由三角函数性质即可得出结果.

法一：（1）∵，∴

∴，∴，

∵为正，∴，

∴，∴

（2）设，∴

∴，∴

设，∴，，

∴

∴

∴

令，∴上式

令，∴

∴，

∴

法二：（1），∴

又，∴，∴

（2）不妨设，

于是①

②

③

∴

当且仅当时，∴面积最大为

法三：（1）由中，，，

则由余弦定理c，∴

又为正三角形，∴

∴

（2）在中，设∠，

由余弦定理得

∵为正三角形，∴

由正弦定理得，即

∴，∴(*)

∵

又由，∴，∴为锐角，∴(**)

∴

(由*和**)

∴当，即当时，取得最大值.

∴面积最大值为.