Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆上一点处的切线分别交轴轴于点，以为顶点且以为中心的椭圆记作，直线交于两点.

（1）若椭圆的离心率为，求点坐标；

（2）证明：四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）.（2）证明见解析

【解析】

（1）由切线得，写出直线方程，求出两点坐标，得椭圆标准方程，然后分类讨论求椭圆的离心率，由离心率是求得点坐标；

（2）设方程为（且），由此写出切线方程求得坐标，得椭圆方程，由直线方程与椭圆方程联立可得点坐标，求出，再求出，由对称性可得，注意计算时，令（）换元，然后利用基本不等式和函数性质可证得结论．

（1）依题意，

直线的方程为，

令得，

令得，

∴，

椭圆的方程为.

（1）若，

则椭圆的离心率，由得，而，

∴，则点；

（2）若，同理可得点，

综上可得点坐标为或.

（2）证明：直线的斜率为，依题意有且，

直线的方程为，

直线的方程为，

令得，令得，

∴，

椭圆的方程为，

联立，解得

，

∴，，

，

∴，

，

设，

，

设，

则，

当且仅当，即时取等号，

∴，∴.