Question

已知函数fn(x)=

ln(x+n)-n

x+n

+

1

n(n+1)

（其中n为常数，n∈N^*），将函数f_n（x）的最大值记为a_n，由a_n构成的数列{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，总存在x∈R⁺使

x

ex-1

+a=an，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较

1

en+1+e•n

+fn(en)与a_n的大小，并加以证明．

Answer 1

（Ⅰ）fn′(x)=

-ln(x+n)+n+1

(x+n)2

，（2分）
令f_n′（x）＞0，则x＜eⁿ⁺¹-n．
∴f_n（x）在（-n，eⁿ⁺¹-n）上递增，在（eⁿ⁺¹-n，+∞）上递减．（4分）
∴当x=eⁿ⁺¹-n时，fn(x)max=fn(en+1-n)=

1

en+1

+

1

n(n+1)

（5分）
即an=

1

en+1

+

1

n(n+1)

，
则Sn=

en-1

en+2-en+1

+

n

n+1

．（6分）
（Ⅱ）∵n≥1，∴eⁿ⁺¹递增，n（n+1）递增，
∴an=

1

en+1

+

1

n(n+1)

递减．
∴0＜an≤a1=

1

e2

+

1

2

，
即an∈(0，

1

e2

+

1

2

]（8分）
令g(x)=

x

ex-1

+a，则g′(x)=

1-x

ex-1

，
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
当x→0时，

x

ex-1

→0；
当x→+∞时，

x

ex-1

＞0；
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]?(0，

1

e2

+

1

2

]，
∴

a≤0 1 e2 + 1 2 ≤1+a

∴

1

e2

-

1

2

≤a≤0（11分）
（Ⅲ）

1

en+1+e•n

+fn(en)-an
=

1

en+1+e•n

+

ln(en+n)-n

en+n

+

1

n(n+1)

-

1

en+1

-

1

n(n+1)

=

1

e(en+n)

+

1

en+n

ln

en+n

en

-

1

en+1

=

1

en+n

(

1

e

+ln

en+n

en

-

1

e

en+n

en

)（12分）
令t=

en+n

en

，
∵g(x)=

ex+x

ex

(x≥1)，g′(x)=

1-x

ex

≤0∴g(x)在[1，+∞）上递减．
∴1＜g(x)≤1+

1

e

，
即t∈(1，1+

1

e

]（13分）
又r(t)=

1

e

+lnt-

1

e

t，r′(t)=

1

t

-

1

e

＞0∴r(t)＞r(1)=0（14分）
∴

1

en+n

(

1

e

+ln

en+n

en

-

1

e

en+n

en

)＞0
∴

1

en+1+e•n

+fn(en)＞an（15分）