Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{

Sn+1

}是公比为2的等比数列．
（1）证明：数列{a_n}成等比数列的充要条件是a₁=3；
（2）设b_n=5ⁿ-（-1）ⁿa_n（n∈N^*）．若b_n＜b_n+1对n∈N^*恒成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知S_n+1=（a₁+1）•4^n-1．an=

a1，n=1 3(a1+1)•4n-2，n≥2

．先证明充分性：当a₁=3时，

a2

a1

=4，所以对n∈N^*，都有

an+1

an

=4，即数列{a_n}是等比数列．再证明必要性：因为{a_n}是等比数列，所以

a2

a1

=4，即

3(a1+1)

a1

=4，解得a₁=3．
（2）当n=1时，b₁=5+a₁；当n≥2时，b_n=5ⁿ-（-1）ⁿ×3（a₁+1）×4^n-2（a₁＞-1）．当n为偶数时，15（a₁+1）×4^n-2＞-4×5ⁿ恒成立．故a₁∈（-1，+∞）．当n为奇数时，b₁＜b₂且b_n＜b_n+1（n≥3）恒成立．5+a₁＜25-3（a₁+1），得a1＜

17

4

．由此入手能够得到a₁的取值范围．

解答：解：（1）因为数列{

Sn+1

}是公比为2的等比数列，
所以

Sn+1

=

S1+1

•2n-1，
即S_n+1=（a₁+1）•4^n-1．
因为an=

a1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

所以an=

a1，n=1 3(a1+1)•4n-2，n≥2

显然，当n≥2时，

an+1

an

=4．
①充分性：当a₁=3时，

a2

a1

=4，所以对n∈N^*，都有

an+1

an

=4，即数列{a_n}是等比数列．
②必要性：因为{a_n}是等比数列，所以

a2

a1

=4，即

3(a1+1)

a1

=4，解得a₁=3．
（2）当n=1时，b₁=5+a₁；当n≥2时，b_n=5ⁿ-（-1）ⁿ×3（a₁+1）×4^n-2（a₁＞-1）．
①当n为偶数时，5ⁿ-3（a₁+1）×4^n-2＜5ⁿ⁺¹+3（a₁+1）×4^n-1恒成立．
即15（a₁+1）×4^n-2＞-4×5ⁿ恒成立．故a₁∈（-1，+∞）．
②当n为奇数时，b₁＜b₂且b_n＜b_n+1（n≥3）恒成立．
由b₁＜b₂知，5+a₁＜25-3（a₁+1），得a1＜

17

4

．
由b_n＜b_n+1对n≥3的奇数恒成立，知5ⁿ+3（a₁+1）×4^n-2＜5ⁿ⁺¹-3（a₁+1）×4^n-1恒成立，
即15（a₁+1）×4^n-2＜4×5ⁿ恒成立，所以a1+1＜

20

3

(

5

4

)n-2恒成立．
因为当对n≥3的奇数时，

20

3

(

5

4

)n-2的最小值为

25

3

，所以a1＜

22

3

．
又因为

17

4

＜

22

3

，故-1＜a1＜

17

4

．
综上所述，b_n＜b_n+1对n∈N^*恒成立时，a1∈(-1，

17

4

)．

点评：本题考查等比数列的性质，解题时感受知识点的有效组合，注意积累解题方法．