Question

已知曲线f(x)=

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x3-ax+4在x=1处的切线方程是y=-3x+b．
（1）求实数a和b的值；
（2）若函数y=f（x）-m在区间（0，+∞）上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用曲线f(x)=

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x3-ax+4在x=1处的切线方程是y=-3x+b，结合导数的几何意义，列出方程，解出a、b即可；
（2）函数y=f（x）-m在区间（0，+∞）上有零点，即方程函数f（x）=m在区间（0，+∞）上有解，故只须m在函数y=f（x）（x∈（0，+∞））的值域内即可，故利用导数求函数y=f（x）（x∈（0，+∞））的最值即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

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x3-ax+4，∴f'（x）=x²-a，依题意得
∴f′（1）=1-a=-3，∴a=4；
又可得切点坐标为（1，

1

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），代入切线的方程y=-3x+b，得b=

10

3

．
（2）由f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2），令f'（x）=0
解得x=-2或x=2；当f'（x）＞0时，解得 x＜-2或x＞2；当f'（x）＜0，解得-2＜x＜2．
∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）上递增，
故f（2）=-

4

3

为最小值．
要使y=f（x）-m在区间（0，+∞）上有零点，
则m≥-

4

3

．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，导数的综合运用以及数形结合的运用能力，对学生有一定的能力要求，有一定的难度．