Question

【题目】如图，四棱锥中， 底面， ， ， ， 为线段上一点， ， 为的中点.

（1）证明： 平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由已知，取的中点，连接， ，得到，利用线面平行的判定定理，即可得到平面.

（2）建立空间直角坐标系，求解平面平面和平面的法向量，利用向量夹角公式，即可求解二面角的大小．

试题解析：

（1）由已知得，

取的中点，连接， ，

由为的中点知， ，

又，故，

所以四边形为平行四边形，于是，

平面， 平面，

所以平面.

（2）取的中点，连接.

由得，从而，

且 .

以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意知， ， ， ， ，

， ， .

设为平面的法向量，则，

即，可取.

设为平面的法向量，

则，即，可取.

于是 ，

.

所以二面角的正弦值为.