Question

【题目】已知函数（且）．

（1）函数是否过定点？若是求出该定点，若不是，说明理由．

（2）将函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式；

（3）在（2）的基础上，若函数过点，且设函数的定义域为，若在其定义域内，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）过定点；（2）（且）；（3）.

【解析】

（1）在函数的解析式中，令指数为零，可求出该函数所过定点的坐标；

（2）根据平移原则求出函数的解析式，然后再根据同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质可得出函数的解析式；

（3）将点代入函数的解析式得出，令，由，得出，利用函数单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

（1）（且），令，得，.

因此，函数的图象恒过定点；

（2）将函数的图象向下平移个单位，得到函数（且）的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位，可得到函数（且）的图象.

因此，（且）；

（3）由题意得，得，且，，则，

当时，.

由，得，

即，

令，则不等式对任意的恒成立，

对任意的恒成立，构造函数，其中.

则函数在区间上单调递增，则该函数的最大值为，

，因此，实数的取值范围是.