Question

【题目】已知函数， 为函数的极值点.

（1）证明：当时， ；

（2）对于任意，都存在，使得，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1

【解析】试题分析：（1）求出，由，可得， ，等价于当时， 恒成立，设，利用导数研究函数的单调性，可得，从而可得结果；（2）令，可得，利用导数研究函数的单调性可得的最小值为，即的最小值为.

试题解析：（1），∴，

又∵为极值点， ，∴，

经检验符合题意，所以，

当时， ，可转化为当时， 恒成立，

设，所以，

当时， ，所以在上为减函数，所以，

故当时， 成立.

（2）令，则，

解得，

同理，由，可得，

因为，又，所以，

令，

则，易知，

当时， ，当时， ，

即当时， 是减函数，当时， 是增函数，

所以的最小值为，即的最小值为.