【题目】过圆上的点
作圆
的切线,过点
作切线的垂线
,若直线
过抛物线
的焦点
.
(1)求直线与抛物线
的方程;
(2)若直线与抛物线
交于点
,点
在抛物线
的准线上,且
,求
的面积.
【答案】(1).
;(2)见解析.
【解析】【试题分析】(1)利用斜率求得过点的切线方程,由此得到垂线
的斜率,再由点斜式得到直线
的方程,令
可求得焦点
的坐标,由此得出抛物线
的方程.(2)联立方程组求得
两点的坐标.设出点
的坐标,利用向量的数量积求得
点的坐标,利用弦长公式和点到直线的距离公式得出面积.
【试题解析】
(1)过点且与圆
相切的直线方程为
,
斜率为,故直线
的斜率为
,故直线
的方程为:
,
即.
令,可得
,故
的坐标为
,
∴,抛物线
的方程为
;
(2)由可得
,
设,
,则
,
,
,
点的坐标分别为
,
.
设点的坐标为
,则
,
,
则,解之得
或
,
∴
,
则点到直线
的距离为
,故
或
,
当时,
的面积为
.
当时,
的面积为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+
=1 (a>b>0)的离心率是
,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证:点M在定直线上;
②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别是
、
,离心率
,过点
的直线交椭圆
于
、
两点,
的周长为16.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为原点,圆
:
(
)与椭圆
交于
、
两点,点
为椭圆
上一动点,若直线
、
与
轴分别交于
、
两点,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】当前,网购已成为现代大学生的时尚。某大学学生宿舍4人参加网购,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去淘宝网购物,掷出点数小于5的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.
(1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率;
(2)用分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数,记
,求随机变量
的分布列与数学期望
.
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【题目】某地区某农产品近几年的产量统计如下表:
(1)根据表中数据,建立关于
的线性回归方程
;
(2)若近几年该农产品每千克的价格 (单位:元)与年产量
满足的函数关系式为
,且每年该农产品都能售完.
①根据(1)中所建立的回归方程预测该地区年该农产品的产量;
②当为何值时,销售额
最大?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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【题目】世界那么大,我想去看看,处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某大学的名学生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 |
(Ⅰ)求所得样本的中位数(精确到百元);
(Ⅱ)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布
,若该所大学共有学生
人,试估计有多少位同学旅游费用支出在
元以上;
(Ⅲ)已知样本数据中旅游费用支出在范围内的
名学生中有
名女生,
名男生,现想选其中
名学生回访,记选出的男生人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:若,则
,
,
.
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【题目】如图,某大型水上乐园内有一块矩形场地米,
米,以
为直径的半圆
和半圆
(半圆在矩形
内部)为两个半圆形水上主题乐园,
都建有围墙,游客只能从线段
处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着
修建不锈钢护栏,沿着线段
修建该主题乐园大门并设置检票口,其中
分别为
上的动点,
,且线段
与线段
在圆心
和
连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为
元/米,直线部门的平均修建费用为
元/米.
(1)若米,则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米?
(2)试确定点的位置,使得修建费用最低.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】棱台的三视图与直观图如图所示.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在一点
,使
与平面
所成的角的正弦值为
?若存在,指出点
的位置;若不存在,说明理由.
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【题目】有甲、乙两个桔柚(球形水果)种植基地,已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内(单位:毫米,以下同),按规定直径在
内为优质品,现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个,测量这些桔柚的直径,所得数据整理如下:
(1)根据以上统计数据完成下面列联表,并回答是否有
以上的把握认为
“桔柚直径与所在基地有关”?
(2)求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表):
(3)经计算,甲基地的500个桔柚直径的样本方差,乙基地的500个桔柚直径的样本方差
,,并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径
服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.由优质品率较高的种植基地的抽样数据,估计该基地采摘的桔柚中,直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例.
附:,
.
若,则
.
,
.
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