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已知f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0).若f(x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于
π
2

(1)求ω的取值范围
(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.且a=
3
,b+c=3,f(A)=1,当ω最大时.求△ABC面积.
分析:(1)二倍角公式和两角和的正弦函数化简f(x)=
m
n
2sin(2ωx+
π
6
)
,根据
π
π
2
,ω>0
,求出ω的范围.
(2)先求f(A)=1时,A的值,利用余弦定理求出bc=2,然后通过三角形的面积公式,求△ABC面积.
解答:解:(1)f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2
3
cosωxsinωx
=cos2ωx+
3
sin2ωx
=2sin(2ωx+
π
6
)
(3分)
由题意知
π
π
2
,ω>0

∴0<ω≤1.(6分)
(2)由于f(A)=2sin(2ωA+
π
6
)
=1,
由于(1)知ω的最大值为1,
sin(2A+
π
4
)=
1
2

π
6
<2A+
π
6
13
6
π
,∴A=
π
3

由余弦定理得b2+c2-bc=3,又b+c=3
∴(b+c)2-3bc=3∴bc=2,
S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
2
(12分)
点评:本题是中档题,考查向量的数量积,三角函数的化简求值,余弦定理、三角形面积公式的应用,考查计算能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=x3+bx2+cx-b(b<0)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)若f(x)的图象上在两点A(m,f(m))、B(n,f(n))处的切线都与y轴垂直,且函数f(x)在区间[m,n]上存在零点,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,在f(x)的图象上是否存在一点M,使得f(x)在点M的切线斜率为2b?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•日照一模)已知f(x)=
m
n
,其中
.
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
.
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
(ω>0).若f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π.
(I)求ω的取值范围;
(II)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=
7
,S△ABC=
3
2
,当ω取最大值时,f(A)=1,求b,c的值.

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科目:高中数学 来源:日照一模 题型:解答题

已知f(x)=
m
n
,其中
.
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
.
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
(ω>0).若f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π.
(I)求ω的取值范围;
(II)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=
7
,S△ABC=
3
2
,当ω取最大值时,f(A)=1,求b,c的值.

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科目:高中数学 来源:烟台二模 题型:解答题

已知f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0).若f(x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于
π
2

(1)求ω的取值范围
(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.且a=
3
,b+c=3,f(A)=1,当ω最大时.求△ABC面积.

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