Question

点P（x，y）在不等式组

x≥0 x+y≤3 y≥x+1

表示的平面区域内，若点P（x，y）到直线y=kx-1的最大距离为2

2

，则k为（　　）

• A、-1
• B、-1或1
• C、-1或2
• D、1

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出题中不等式组对应的平面区域，而直线y=kx-1经过定点（0，-1），由此观察图形得到平面区域内的点C（0，3）到直线y=kx-1的距离最大．最后根据点到直线距离公式建立关于k的方程，即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，其中A（0，1），C（0，3），B（1，2）
∵直线y=kx-1经过定点（0，-1），
∴△ABC必定在直线y=kx-1的上方时，
若k=0，则C到直线y=kx-1的距离最大，此时为4，不满足条件．
若k＞0，则由图象可知点C（0，3）到直线y=kx-1的距离最大，
将直线y=kx-1化成一般式，得kx-y-1=0
因此点P（x，y）到直线y=kx-1的距离d=

|-1-1|

1+k2

=

2

1+k2

=2

2

，
解得k=1，
若-1≤k＜0，则由图象可知点B（1，2）到直线y=kx-1的距离最大，
因此点P（x，y）到直线kx-y-1=0的距离d=

|k-1-2|

1+k2

=2

2

，
平方得7k²+6k-1=0，解得k=-1或k=

1

7

（舍），
若k＜-1，由图象可知点C（0，3）到直线y=kx-1的距离最大，
因此点P（x，y）到直线y=kx-1的距离d=

|-1-1|

1+k2

=

2

1+k2

=2

2

，
解得k=1（舍）或k=-1（舍），
综上k=1或k=-1
故选：B

点评：本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离公式的求解，利用数形结合是解决本题的关键．