Question

设f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=-f（x），已知x∈（0，1）时，f（x）=log

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（1-x），则函数f（x）在（1，2）上（　　）

• A、是增函数，且f（x）＜0
• B、是增函数，且f（x）＞0
• C、是减函数，且f（x）＜0
• D、是减函数，且f（x）＞0

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+1）=-f（x），可推出f（x+2）=f（x），因此函数为周期函数，T=2，由复合函数的单调性推出函数f（x）=log

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（1-x）递增，再由周期性与奇偶性把（1，2）上的单调性过度到（0，1）来研究．

解答： 解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=-（-f（x））=f（x），
∴函数为周期函数，周期T=2，
∵u=1-x递减，y=log

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u递减，由复合函数的单调性知函数f（x）=log

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（1-x）递增，
又x∈（0，1）时，0＜1-x＜1，∴log

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（1-x）＞0，
∴?x∈（0，1）时，f（x）＞0，
①?x∈（1，2），2-x∈（0，1），∴f（2-x）＞0，
又函数为偶函数，∴f（x）=f（-x）=f（-x+2）＞0，
②设1＜x₁＜x₂＜2，则-1＞-x₁＞-x₂＞-2，则1＞2-x₁＞2-x₂＞0，
∵函数f（x）=log

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（1-x）递增，
∴f（2-x₁）＞f（2-x₂）
又f（2-x₁）=f（x₁）、f（2-x₂）=f（x₂）
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（1，2）上是减函数
综上，选D

点评：本题综合考查函数的性质，是把函数的单调性、奇偶性、周期性相结合的题目，属于中档题．