Question

若关于x的不等式ax²+3x-1＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜1}，
（1）求a的值；
（2）求不等式ax²-3x+a²+1＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）根据不等式的解集，即可得到方程ax²+3x-1=0的两个根为

1

2

和1，根据韦达定理可以求得a的值；
（2）根据（1）的结果，可以得到不等式2x²+3x-5＜0，求出方程2x²+3x-5=0的根，从而得到不等式的解集．

解答：解：（1）依题意，可知方程ax²+3x-1=0的两个实数根为

1

2

和1，
∴

1

2

+1=-

3

a

且

1

2

×1=-

1

a

，解得a=-2，
∴a的值为-2；
（2）由（1）可知，不等式为-2x²-3x+5＞，即2x²+3x-5＜0，
∵方程2x²+3x-5=0的两根为x₁=1，x₂=-

5

2

，
∴不等式ax²-3x+a²+1＞0的解集为{x|-

5

2

＜x＜1}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，要注意一元二次不等式和一元二次方程以及一元二次函数之间的联系，注意根与方程系数之间的关系一般运用韦达定理进行解决．属于基础题．