Question

15．已知定义在R上的函数f（x）=2^x-a•2^-x为奇函数．
（1）求a的值，并判断f（x）的单调性（不用给证明）；
（2）t为实数，且f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切实数x都成立，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质：f（0）=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f（x）的单调性；
（2）由奇函数f（x）的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x-a•2^-x为奇函数，∴f（0）=0，
则1-a=0，解得a=1，即f（x）=2^x-2^-x=2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$，
∵函数y=2^x、y=-${（\frac{1}{2}）}^{x}$在定义域上是增函数，
∴f（x）=2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$在R上单调递增；
（2））∵f（x）是奇函数，且在R上是增函数，
∴f（x-t）+f（x²-t²）≥0化为：f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（-x+t），
∴x²-t²≥-x+t，则x²+x-t²-t≥0对一切实数x恒成立，
∴△=1²-4×1×（-t²-t）≤0，则（2t+1）²≤0，解得t=$-\frac{1}{2}$，
∴t的值是$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．