Question

5．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$c=b．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=l，求$\sqrt{3}$c-2b的取值范围．

Answer 1

分析 （I）使用正弦定理边化角，利用和角的正弦函数得出cosA；
（II）使用正弦定理用B表示出b，c，得出$\sqrt{3}$c-2b关于B的函数，根据B的范围和余弦函数的性质求出最值．

解答 解：（I）在△ABC中，∵acosC+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$c=b，∴sinAcosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$．
（II）由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2$，
∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（$\frac{5π}{6}$-B）=cosB+$\sqrt{3}$sinB．
∴$\sqrt{3}$c-2b=$\sqrt{3}$cosB+3sinB-4sinB=$\sqrt{3}$cosB-sinB=2cos（B+$\frac{π}{6}$）．
∵0$＜B＜\frac{5π}{6}$，∴$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜$π．
∴-1＜cos（B+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴-2＜2cos（B+$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{3}$．
即$\sqrt{3}$c-2b的取值范围是（-2，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了正弦定理的应用，余弦函数的图象与性质，属于中档题．