Question

10．已知sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，$\frac{π}{2}$＜α-β＜π，$\frac{3π}{2}$＜α+β＜2π，求2β的值．（提示：2β=（α+β）-（α-β））

Answer 1

分析 根据同角的三角函数的关系以及两角和的余弦公式即可求出答案．

解答 解：∵sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，$\frac{π}{2}$＜α-β＜π，$\frac{3π}{2}$＜α+β＜2π，
∴-π＜β-α＜-$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＜2β＜$\frac{3π}{2}$，
∴cos（α+β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=$\frac{4}{5}$，sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=$\frac{4}{5}$×（-$\frac{4}{5}$）+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{3}{5}$=-1，
∴2β=π．

点评 本题考查了同角的三角函数的关系以及两角和的余弦公式，属于基础题．