Question

2．已知O为△ABC所在平面内一点，且满足条件$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，2|$\overrightarrow{OB}$|²=2|$\overrightarrow{OC}$|²=5|$\overrightarrow{OA}$|²，则△ABC是等腰且锐角三角形．

Answer 1

分析 取BC的中点D，连接OD，运用中点向量表示可得O为AD的中点，即有AD⊥BC，则|AB|=|AC|；设|OB|=|OC|=t，|OA|=m，运用勾股定理和余弦定理，可得∠BAC为锐角．即可判断三角形ABC的形状．

解答 解：取BC的中点D，连接OD，
$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，可得2$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
即为$\overrightarrow{DO}$=$\overrightarrow{OA}$，O为AD的中点，
由2|$\overrightarrow{OB}$|²=2|$\overrightarrow{OC}$|²=5|$\overrightarrow{OA}$|²，
可得|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，OD⊥BC，
即有AD⊥BC，则|AB|=|AC|，
可得△ABC为等腰三角形；
设|OB|=|OC|=t，|OA|=m，
则|AD|=2m，|BD|=$\sqrt{{t}^{2}-{m}^{2}}$，
|BC|=2$\sqrt{{t}^{2}-{m}^{2}}$，
|AB|=|AC|=$\sqrt{4{m}^{2}+{t}^{2}-{m}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+3{m}^{2}}$，
由|AB|²+|AC|²-|BC|²=2t²+6m²-4t²+4m²=10m²-2t²，
2|$\overrightarrow{OB}$|²=2|$\overrightarrow{OC}$|²=5|$\overrightarrow{OA}$|²，即为2t²=5m²，
可得10m²-2t²=5m²＞0，
则cos∠BAC＞0，
即有∠BAC为锐角．
则△ABC为锐角三角形．
故答案为：等腰且锐角三角形．

点评 本题考查三角形的判断，注意运用向量的三角形法则和向量共线定理，考查勾股定理及余弦定理的运用，属于中档题．