Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，PA=a，AB=2PA，∠ABC=60°，则D到平面PBC的距离为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：以A为原点，取BC中点E以AE为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出D到平面PBC的距离．

解答： 解：如图，∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
底面ABCD为平行四边形，PA=a，AB=2PA，∠ABC=60°，
∴以A为原点，取BC中点E以AE为x轴，以AD为y轴，
以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，2a，0），B（

3

a，-a，0），C（

3

a，a，0），P（0，0，a），

PB

=(

3

a，-a，-a)，

PC

=(

3

a，a，-a)，
设平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PB = 3 ax-ay-az=0 n • PC = 3 ax+ay-az=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，0，3），

PD

=（0，2a，-a），
∴D到平面PBC的距离：
d=

| PD • n |

| n |

=

|-3a|

12

=

3

2

a．
故答案为：

3

2

a．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．