Question

13．已知过点Q（$\frac{9}{2}$，0）的直线与抛物线C：y²=4x交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求证：y₁y₂为定值．
（Ⅱ）若△AOB的面积为$\frac{81}{4}$（O为坐标原点），求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分直线与x轴垂直和不垂直分析，当直线与x轴垂直时直接求出y₁y₂．当不垂直时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y₁y₂为定值；
（Ⅱ）利用弦长公式求出AB的长度，再由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，代入三角形面积公式求得k值，则直线AB的方程可求．

解答 （Ⅰ）证明：当直线AB垂直于x轴时，${y}^{2}=4×\frac{9}{2}=18$，得${y}_{1}=3\sqrt{2}，{y}_{2}=-3\sqrt{2}$．
∴y₁•y₂=-18；
当直线AB不与x轴垂直时，设直线方程为y=k（x-$\frac{9}{2}$）（k≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{9}{2}）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-2y-18k=0．
由根与系数的关系可得：y₁•y₂=-18．
综上，y₁y₂为定值；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2}{k}，{y}_{1}{y}_{2}=-18$，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}•\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}•\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}+72}$．
O到直线AB的距离d=$\frac{|-9k|}{\sqrt{4{k}^{2}+4}}$．
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}•\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}+72}•\frac{|9k|}{2\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{81}{4}$，解得k=$±\frac{2}{3}$．
∴直线AB的方程为$y=±\frac{2}{3}（x-\frac{9}{2}）$，即2x+3y-9=0或2x-3y-9=0．

点评 本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．