Question

2．已知点P（$\sqrt{3}$，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{QP}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量的坐标表示与数量积运算求出f（x），即可得出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据f（A）=4求出A的值，再根据△ABC的面积和余弦定理求出b+c的值，即可求出周长．

解答 解：（Ⅰ）点P（$\sqrt{3}$，1），Q（cosx，sinx），
∴$\overrightarrow{OP}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{QP}$=（$\sqrt{3}$-cosx，1-sinx），
函数f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{QP}$
=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$-cosx）+（1-sinx）
=3-$\sqrt{3}$cosx+1-sinx
=-（sinx+$\sqrt{3}$cosx）+4
=-2sin（x+$\frac{π}{3}$）+4；
∴函数f（x）的最小正周期为T=2π；
（Ⅱ）A为△ABC的内角，f（A）=4，
∴-2sin（A+$\frac{π}{3}$）+4=4，
∴sin（A+$\frac{π}{3}$）=0，
∴A+$\frac{π}{3}$=π，解得A=$\frac{2π}{3}$；
又BC=a=3，
∴△ABC的面积为：S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
解得bc=3；
由余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccosA
=b²+c²-2bccos$\frac{2π}{3}$
=b²+c²+bc
=3²=9，
∴b²+c²=6；
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=6+6=12，
∴b+c=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的周长为a+b+c=3+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，也考查了三角恒等变换与余弦定理的应用问题，是综合题．