Question

14．在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了苏俄生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论．现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表：

成绩   编号	1	2	3	4	5
物理（x）	90	85	74	68	63
数学（y）	130	125	110	95	90

（1）求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$（$\widehat{b}$精确到0.1）．若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率．（参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）
（参考数据：90²+85²+74²+68²+63²=29394，90××125+74×110+68×95+63×90=42595）

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用方程，x=80分，即可预测他的数学成绩；
（2）利用对立事件的概率公式，即可得出结论．

解答 解：（1）$\overline{x}$=76，$\overline{y}$=130，∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{42595-5×76×130}{29394-5×7{6}^{2}}$≈-13.2，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=130-（-13.2）×76≈1133.2，
∴$\widehat{y}$=-13.2x+1133.2，x=80，$\widehat{y}$=77；
（2）从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛，有${C}_{5}^{2}$=10种方法，选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率为1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{10}$=$\frac{7}{10}$．

点评 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．